선형 독립과 종속

선형 독립이란 남은 벡터들의 선형결합인 벡터가 존재하지 않는다는, 벡터 집합에 대한 성질이다.라는데 뭔말인가 이게

정의

를 체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간이고, ${\displaystyle S}$을 ${\displaystyle V}$의 부분집합이라고 하자. 우선 유한집합인 ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}\}}$에 대해, 만약

${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$

인, 모두 0이지는 않은 계수 ${\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{n}\in K}$가 존재하면, ${\displaystyle S}$가 선형(일차)종속이라고 한다. 대신 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}}$이 선형종속이라고하기도 한다. 만약 선형종속이 아니면, ${\displaystyle S}$가 선형(일차)독립이라고 한다. 이는 위의 식이 ${\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{n}=0}$을 함의한다는 것과 동치이다.

무한집합일 수도 있는 ${\displaystyle S}$에 대해, 만약 ${\displaystyle S}$의 어떤 유한 부분집합이 선형종속이라면, 즉 어떤 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{n}\in S}$와 모두 0이지는 않은 ${\displaystyle c_{1},\cdots c_{n}}$이 존재하여 위의 식이 성립한다면, ${\displaystyle S}$가 선형(일차)종속이라고 하고, 그렇지 않으면 선형(일차)독립이라고 한다. 마찬가지로, 선형독립은 위의 식이 계수가 모두 0임을 함의한다는 것과 동치이다.

• 뭔 말인지 모르겠는데 강의 들으니까 이해간다.

만약 어떤 벡터공간을 예로 들어보면, 이 공간에서 벡터 몇개를 선택해 선형결합을 하면 공간 안에 속해 있는 다른 벡터가 나온다.

벡터의 합을 생각해보면 된다.

만약 c1v1 + c2v2 = 0인, 모두 0이 아닌 계수 ci가 존재 하면, S가 선형종속이라고 한다.

간단하게 예를 들어서 v1(1,2)와 v2(2,4)가 있을 때, c1 = 2, c2 = -1 이면 위의 조건에 만족한다.

이걸 그래프로 그려보면 v1와 v2는 적당한 곱을 하면 같은 벡터가 된다는 것을 알 수 있다. v2에 1/2를 곱하면 v1과 일치한다.

이것을 선형 종속이라고 한다. 벡터의 집합이 존재할 때, S={v1, v2, v3, vn} 위에 v1, v2의 예처럼 선형 종속인 벡터는 굳이 중복해서 갖고 있을 필요가 없기때문에 선형 종속,독립을 판단해서 줄이는 것도 가능하다.

불필요한 벡터를 제거 할 수있고, 불필요한 벡터를 찾을 수도 있다.

선형 종속, 독립이 왜 중요할까...

두 벡터가 선형종속이라면 두 벡터를 이용해서 그릴 수 있는, 표현 할 수 있는 벡터는 둘 중 하나의 벡터의 연장일 뿐이다. 예를 들면 좌표평면에서 직선을 표현 할 수 있다. 하지만 두 벡터가 선형 독립이라면 두 벡터의 합으로 R^2 (2차원 실수공간)을 모두 표현 할 수있다는 것에 의미가 있다.

• 선형 독립과 종속의 판단
  

벡터의 집합, 위의 정의에서 말한 S가 있을 때,  을 만족하면 선형종속이라고 한다. 종속, 그러니까 어디에 포함 된다는 그런 말인데 위의 예처럼 (1,2)와 (2,4)를 그래프에 그려보면 아 이게 종속이구나 하는 감이 오지만, 역시나 차원이 커지면 시각화하는게 어렵다.

v1(2,5) v2(5,3)이라고 하면 두 벡터의 선형 결합으로 영벡터를 나타낼 수 있는지 생각해봐야한다. 계산해보면 둘다 0을 곱하지 않는 이상 영벡터는 나올 수 없다.

그러니까  에서 모두 0이 아닌 ci가 존재한다면 선형 종속이고, 아니라면 선형 독립이다.

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모두 0을 곱해야만 0이 나온다, 즉 공통된 부분이 없다, 즉, 선형 독립이다. 공통된 부분이 없으니까 서로합치면 모든 공간을 표현 가능하다.